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五芒星を一筆書きする経路の場合の数

【 平面図形 #138 】
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      M e r r y X m a t h !!
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 クリスマスにからめて星型が登場する問題を披露しています。求角だった1題目( http://nazopla.jp/quize/16590.html )に対し、2題目は場合の数です。僕から場合の数を出題するのは極めてまれなことです。ちょっとレアな場合の数問題をどうぞお楽しみください。
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■ 解答入力上の注意 ■
解答は単位なしでそのまま入力してください。
 (例) 1225通り → 1225

■ ヒント内容の予告 ■
ヒント1…当面の方針をぼんやりと
ヒント2…前半の方針をやや具体的に
ヒント3…後半の方針をぼんやりと
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